Cómo encontrar la inversa de una matriz
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donde In denota la matriz identidad n por n y la multiplicación utilizada es la multiplicación matricial ordinaria. Si este es el caso, entonces la matriz B está determinada únicamente por A, y se llama la inversa (multiplicativa) de A, denotada por A-1.[1] La inversión de la matriz es el proceso de encontrar la matriz B que satisface la ecuación previa para una matriz invertible dada A.
Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular o degenerada. Una matriz cuadrada es singular si y sólo si su determinante es cero[2] Las matrices singulares son raras en el sentido de que si las entradas de una matriz cuadrada se seleccionan al azar en cualquier región finita de la recta numérica o del plano complejo, la probabilidad de que la matriz sea singular es 0, es decir, «casi nunca» será singular. Las matrices no cuadradas (matrices de m por n para las que m ≠ n) no tienen una inversa. Sin embargo, en algunos casos una matriz de este tipo puede tener una inversa izquierda o una inversa derecha. Si A es m por n y el rango de A es igual a n (n ≤ m), entonces A tiene una inversa izquierda, una matriz B de n por m tal que BA = In. Si A tiene rango m (m ≤ n), entonces tiene una inversa derecha, una matriz B de n por m tal que AB = Im.
Calculadora de la matriz inversa 3×3
Antes de ver cómo encontrar la inversa de una matriz de 3×3, recordemos el significado de la inversa. La inversa de un número es un número que cuando se multiplica por el número dado da como resultado la identidad multiplicativa, 1. Del mismo modo, el producto de una matriz A y su inversa A-1 da la matriz identidad, I. es decir, AA-1 = A-1A = I. Veamos cómo encontrar la inversa de una matriz 3×3.
La inversa de una matriz de 3×3, digamos A, es una matriz del mismo orden denotada por A-1, donde AA-1 = A-1A = I, donde I es la matriz identidad de orden 3×3. es decir, I = \left[\begin{array}{rr}1 & 0 & 0 \\\1&0 \\\\\a 0 & 1&0 end{array}{right]\a). Por ejemplo, si A = \left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\\b2&1&2 \b -1 & 2&1 \end{array}{right]\b) entonces A-1 = \left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \\b
-5 / 16 & 1 / 4 & 3 / 16 \ end{array}\right]\N-). Uno puede multiplicar fácilmente estas matrices y verificar si AA-1 = A-1A = I. Veremos cómo encontrar la inversa de una matriz de 3×3 en la próxima sección.
Antes de pasar a saber cómo encontrar la inversa de una matriz de 3×3, veamos cómo encontrar el determinante y el adjunto de una matriz de 3×3. Utilicemos este mismo ejemplo (como en la sección anterior) en cada explicación.
Cómo encontrar la inversa de una matriz de 3×3 utilizando el determinante
\1 veces 1 izquierda (2 derecha) y 1 vez 1 izquierda (3 derecha) y 1 vez 4 izquierda (4 derecha). 4\N-derecha)-tiempos 1-izquierda(-3-derecha)-tiempos 1-izquierda(-2-derecha)-tiempos 4&0tiempos 1-izquierda(-2-derecha)-tiempos-izquierda(-3-derecha)-tiempos 4-izquierda(- 3\Nderechos)&0tiempos 1-izquierda(-3\Nderechos)&0tiempos 1-izquierda(-3\Nderechos)&0tiempos 1-izquierda(-2\Nderechos)&0tiempos 2\right)\times 1&0\times \left(-4\right)-\left(-3\right)\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4&-5&-8\\5&-6&-9\\-2&2&3\end{array}\right).
Adjunto de una matriz 3×3
De nuestra lección sobre la matriz invertible de 2×2 aprendimos que una matriz invertible es cualquier matriz cuadrada que tiene otra matriz (llamada su inversa) relacionada con ella de forma que su multiplicación matricial produce una matriz identidad del mismo orden. En general, esta condición de invertibilidad para una matriz AAA de n×nn \N veces nn×n se define como:
Recuerda que, las llamamos matrices nxn porque todas son matrices cuadradas (mismo número de filas y columnas). Y así, siguiendo la condición de la ecuación 1, tenemos que si definimos una matriz 2×2 XXX, la condición para la matriz 2×2 inversa se escribe como:
Así que empecemos esta lección con un rápido repaso sobre cómo calcular la inversa de una matriz de 2×2 ya que nos ayudará a entender la metodología estándar (o formal) para calcular la inversa de una matriz de 3×3.
Observa que el primer factor del lado derecho está compuesto por una división con el determinante de la matriz original de 2×2 en lugar del denominador. Esto proviene de nuestra ecuación general para el determinante de una matriz de 2×2, que se define matemáticamente como
