Calculadora de matrices inversas
EDICIÓN (8/14/2020): Un par de personas han sugerido que esta respuesta debería ir acompañada de una advertencia — se trata de una aproximación bastante rebuscada a una pregunta elemental, motivada por el hecho de que conozco los intereses del OP. Algunas de las otras respuestas de abajo son probablemente mejores si sólo quieres invertir algunas matrices :). También he corregido un par de errores menores.
Si quieres derivar la fórmula que has escrito por «puro pensamiento» basta con mirar cualquiera de estos casos si recuerdas la forma general de la inversa; o simplemente puedes ponerlos todos juntos para dar una derivación rigurosa.
Al igual que el determinante, el adjunto es multiplicativo. Categóricamente, la razón por la que el determinante es multiplicativo es que proviene de un functor (la potencia exterior), por lo que uno podría esperar que el adjunto también provenga de un functor, y de hecho lo hace (¡el mismo functor!).
Calcular la matriz inversa 4×4
La inversa de una matriz no es más que un recíproco de la matriz como hacemos en la aritmética normal para un solo número que se utiliza para resolver las ecuaciones para encontrar el valor de las variables desconocidas. La inversa de una matriz es aquella matriz que al multiplicarse con la matriz original dará como matriz identidad. La inversa de una matriz existe sólo si la matriz es no singular, es decir, el determinante no debe ser 0. Usando el determinante y el adjunto, podemos encontrar fácilmente la inversa de una matriz cuadrada usando la siguiente fórmula, si det(A) != 0
Determinante de una matriz de 3×3
Vamos a empezar una serie de lecciones dedicadas a las inversas de las matrices. El tema de hoy es aprender a identificar las matrices que se pueden invertir y las que no. En lecciones posteriores obtendremos las inversas de matrices de distinto tamaño y cómo utilizarlas a la hora de resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Una matriz invertible, también llamada matriz no degenerada o matriz no singular, es un tipo de matriz cuadrada que contiene números reales o complejos y que es la más común que existe. Su principal característica es que para una matriz invertible siempre existe otra matriz que multiplicada a la primera, producirá la matriz identidad de las mismas dimensiones que ellas.
En otras palabras, una matriz invertible es aquella que tiene una matriz «inversa» relacionada con ella, y si ambas se multiplican entre sí (no importa en qué orden), el resultado será una matriz identidad del mismo orden. Para explicar un poco mejor este concepto definamos una matriz de 2×2 (una matriz cuadrada de segundo orden) llamada X. Entonces, se dice que X es una matriz de 2×2 invertible si y sólo si existe una matriz inversa X-1X^{-1}X-1 que multiplicada a X produce una matriz identidad de 2×2 como se muestra a continuación:
Matriz inversa 3×3
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donde In denota la matriz identidad n por n y la multiplicación utilizada es la multiplicación matricial ordinaria. Si este es el caso, entonces la matriz B está determinada únicamente por A, y se llama la inversa (multiplicativa) de A, denotada por A-1.[1] La inversión de la matriz es el proceso de encontrar la matriz B que satisface la ecuación previa para una matriz invertible dada A.
Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular o degenerada. Una matriz cuadrada es singular si y sólo si su determinante es cero[2] Las matrices singulares son raras en el sentido de que si las entradas de una matriz cuadrada se seleccionan al azar en cualquier región finita de la recta numérica o del plano complejo, la probabilidad de que la matriz sea singular es 0, es decir, «casi nunca» será singular. Las matrices no cuadradas (matrices de m por n para las que m ≠ n) no tienen una inversa. Sin embargo, en algunos casos una matriz de este tipo puede tener una inversa izquierda o una inversa derecha. Si A es m por n y el rango de A es igual a n (n ≤ m), entonces A tiene una inversa izquierda, una matriz B de n por m tal que BA = In. Si A tiene rango m (m ≤ n), entonces tiene una inversa derecha, una matriz B de n por m tal que AB = Im.
