Invertir y multiplicar fracciones
En matemáticas, un inverso multiplicativo o recíproco de un número x, denotado por 1/x o x-1, es un número que cuando se multiplica por x da la identidad multiplicativa, 1. El inverso multiplicativo de una fracción a/b es b/a. Para la inversa multiplicativa de un número real, hay que dividir 1 entre el número. Por ejemplo, el recíproco de 5 es un quinto (1/5 o 0,2), y el recíproco de 0,25 es 1 dividido por 0,25, o sea 4. La función recíproca, la función f(x) que asigna x a 1/x, es uno de los ejemplos más simples de una función que es su propia inversa (una involución).
Multiplicar por un número es lo mismo que dividir por su recíproco y viceversa. Por ejemplo, la multiplicación por 4/5 (o 0,8) dará el mismo resultado que la división por 5/4 (o 1,25). Por tanto, la multiplicación por un número seguida de la multiplicación por su recíproco da como resultado el número original (ya que el producto del número por su recíproco es 1).
El término recíproco era de uso común al menos desde la tercera edición de la Encyclopædia Britannica (1797) para describir dos números cuyo producto es 1; las cantidades geométricas en proporción inversa se describen como recíprocas en una traducción de 1570 de los Elementos de Euclides[1].
Calculadora de inversión de fracciones
El método del factor ausente es una forma especialmente agradable de entender la división de fracciones. Se basa en lo que sabemos sobre la multiplicación y la división, reforzando que estas operaciones tienen la misma relación si los números son enteros, fracciones o cualquier otra cosa. Tiene sentido. Pero hemos visto que no siempre funciona bien. Por ejemplo,
en el capítulo «¿Qué es una fracción?». Esto significa que a cada niño le corresponden 3 pasteles. Entonces, ¿cuánto le toca a un niño individual (un niño entero)? Puedes hacer un dibujo para ayudarte a averiguarlo. Pero también podemos utilizar la regla de la fracción clave para ayudarnos.
Eso es un poco mejor, pero sigue sin estar claro cuánto pastel le toca a cada niño. Utilicemos la regla de la fracción clave para hacer la fracción aún más amigable. Multipliquemos el numerador y el denominador cada uno por 3. (¿Por qué tres?) Recuerda que esto significa que estamos multiplicando la fracción por , que no es más que una forma especial de 1, por lo que no cambiamos su valor.
Ahora vemos que la respuesta es . Esto significa que repartir tartas entre los niños es lo mismo que repartir 92 tartas entre 63 niños. (En ambas situaciones, cada niño recibe exactamente la misma cantidad de tarta).
Fracciones recíprocas
«Lo que el mejor y más sabio padre quiere para su propio hijo, eso debe querer la comunidad para todos sus hijos. Cualquier otro ideal para nuestras escuelas es estrecho y sin amor; actuado destruye nuestra democracia».
Ayer y hoy he enseñado exponentes negativos a mi clase de Álgebra 1. Los alumnos empezaron con una actividad de «descubrimiento» en la que rellenaron dos tablas, una para y otra para , para n = 5 a -5, en las que finalmente averiguaron que cada resultado sucesivo era la mitad del resultado anterior, para la tabla, y un tercio del resultado anterior para la tabla, lo que hacía más comprensible la respuesta para n=0 y cualquier n negativo. Digo «eventualmente» porque la mayoría de los alumnos no reconocieron el patrón de la tabla hasta que lo tratamos explícitamente.
Para esta definición, mencioné que cuando cualquier número a, a≠0, se eleva a una potencia negativa n, se tomó el recíproco del número a elevado a la potencia positiva n. Los estudiantes aprendieron lo que significaba el recíproco a principios de año, así como en clases de matemáticas anteriores, por lo que no mencioné explícitamente cómo escribir el recíproco. Tampoco di una explicación de por qué la definición era cierta.
Calculadora de inversión y multiplicación
Como profesores de primaria, rara vez tenemos la oportunidad de explorar la división de una fracción por una fracción. Cuando lo hacemos, normalmente va acompañado de la frase «No hay razón para ello, sólo hay que invertir y multiplicar».
He estado redactando la 4ª entrega de la serie Making Sense con fracciones y comparto este post como una referencia más personal por si K-C-F vuelve a hacer de las suyas por estos lares… y estoy seguro de que lo hará.
En algún momento del camino se vuelve ineficaz que los estudiantes dibujen modelos una vez que se ha establecido la comprensión conceptual. A medida que los alumnos representen la división de fracciones con medidas, deberían registrar formalmente su pensamiento.
A partir de aquí los alumnos generan su propio algoritmo (atajo). Empiezan a reconocer que siempre obtendrán un denominador de «1 entero», por lo que empiezan a dejarlo fuera a propósito. Al hacerlo, se vuelven más eficientes en el procedimiento de dividir fracciones.
Algunos estudiantes comienzan a eliminar los pasos verde y rojo de la ecuación anterior porque los consideran repetitivos. Incluso hemos tenido un estudiante que «inventó» y generalizó la multiplicación cruzada para la división de fracciones, ya que buscaba la manera de registrar menos números y símbolos.
